Topologie in räumlichen Informationssystemen

In gemeinsamer Arbeit mit Norbert Paul wurde die algebraische Topologie als Grundlage für die Gebäudemodellierung, oder viel allgemeiner: für die Modellierung räumlicher Informationen, erschlossen. Hieraus entstand als Referenzmodell der relationale Kettenkomplex, welcher eine für relationale Datenbanken angepasste Form des in der algebraischen Topologie bekannten Zell- oder Kettenkomplexes ist. Der Unterschied ist, dass im relationalen Kettenkomplex der Randoperator eine partielle Matrix ist. Dadurch wird die topologische Randeigenschaft zwischen den Zellen als Relation gleich mitkodiert. Der relationale Kettenkomplex hat eine direkte Umsetzung als topologischer Datentyp. Allgemein lässt sich jede endliche Topologie durch eine binäre Relation kodieren, wodurch die Theorie der relationalen Datenbanken um Topologie erweitert wird. Die einzige Bedingung hierbei ist, dass die zu Grunde liegende relationale Algebra die transitive Hülle einer Relation berechnen kann (Comp. J., 53 (2010), 69-89).

Die in der Kartographie wichtige Multirepräsentation oder Generalisierung bedeutet im Kontext der topologischen Modellierung das Vorliegen einer Hierarchie von Topologien, die auch durch eine hierarchische Segmentierung entstanden sein kann. Diese lässt sich durch eine Topologie auf einer Menge von p-adischen Zahlen kodieren. Ist die Topologie als Kettenkomplex gegeben, ergeben sich neue Kompressions- und Dekompressionsformeln für die Berechnung des Randoperators in höheren Hierarchiestufen aus dem weiter unten in der Hierarchie definierten Randoperator. Diese Formeln haben auch eine Formulierung als p-adische Integration (p-Adic Num. Ultram. Anal. Appl., 2 (2010) 293-304). Der so gegebene hierarchische oder p-adische Kettenkomplex ist ein neues Beispiel eines sog. Persistenz-Komplexes, aus dem in der rechnergestützten Topologie vornehmlich topologische Signaturen für Daten gewonnen werden (sog. Persistenz-Barcodes). Auch zur Topologie und Algebraischen Topologie gibt es Wikipedia-Einträge.