Nichtarchimedische Geometrie und Anwendungen

In der hierarchischen Klassifikation ergibt sich eine Anwendung der p-adischen Geometrie, indem Daten durch p-adische Zahlen kodiert werden können. Eine derartige Kodierung entsteht dadurch, dass ihr Dendrogramm in den Bruhat-Tits-Baum T_p eingebettet wird. Auf diese Weise wird eine geometrische Beschreibung von Zeitreihen von Dendrogrammen (J. Classification, 25 (2008), 27-42) ebenso wie p-adische Klassifikationsalgorithmen (p-Adic Num. Ultram. Anal. Appl., 4 (2009), 271-285; Comp. J., 53 (2010), 393-404) ermöglicht. 
 
Anwendungen in Computer Vision ergeben sich durch eine p-adische Bildkodierung. So entstand RanSaC_p, der p-adische RANSAC der Stereo-Vision, indem eine p-adische Formulierung des Fünf-Punkte-Algorithmus mehrfach gelöst wird und die Vereinigung aller Lösungsmengen p-adisch klassifiziert wird (p-Adic Num. Ultram. Anal. Appl., 2 (2010), 55-67). Die p-adische Diffusionsgleichung

    ∂_t f + D f = 0

erlaubt eine Verarbeitung hierarchisch kodierter Bilder. Werden Bilder allgemein als Funktionen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten angesehen, so ist D der Laplace-Beltrami-Operator, welcher den bekannten Laplace-Operator auf krummlinige Koordinaten verallgemeinert. Im p-adischen Fall bietet es sich an, für D den Vladimirov-Operator zu verwenden. Hierdurch werden Bilder zu Objekten der p-adischen Stringtheorie, einem recht neuen und sehr aktiven Gebiet der mathematischen Physik (p-Adic Num. Ultram. Anal. Appl., 2 (2010) 293-304).

Symmetrien von p-adischen riemannsche Flächen sind nicht nur in der p-adischen Stringtheorie, sondern auch in der reinen Mathematik interessant. Hier gelang es, analog zu gewöhnlichen riemannschen Flächen, nachzuweisen, dass im Fall von Geschlecht 2 oder höher jede endliche Gruppe als volle Symmetriegruppe einer p-adischen riemannschen Fläche vorkommt (Math. Z., 251 (2005), 393-414).

Ultrametrizität ist eine charakterisierende Eigenschaft der p-adischen Geometrie. Diese legt ihr eine hierarchische Struktur auf. In der hierarchischen Klassifikation von Daten geht es darum, ihnen ebenfalls eine hierarchische Struktur aufzuerlegen. Da es natürlicher ist, nach einer inhärenten hierarchischen Struktur zu suchen, gibt es Ultrametrizitätsindizes, die angeben, inwieweit ein Datensatz von einer Ultramtrik abweicht.

Ein neuer solcher ist ein topologischer Ultrametrizitätsindex, der eine in den Daten vorkommenden Graphsstruktur, den Vietoris-Rips-Graph, verwendet. Dieser läßt sich als Kriterium zur Feature-Selektion bei hochdimensionalen Daten (z.B. Hyperspektraldaten) verwenden (Remote Sensing, 10, 1564, 2018).