Was sind p-adische Zahlen?

Die Euklidische Geometrie beruht auf dem Archimedischen Axiom. Dieses besagt, dass jede Strecke endlicher Länge durch Aneinanderreihung von N Einheitsstrecken überragt werden kann, wenn N nur hinreichend groß ist. So erfült etwa die Euklidische Norm das Archimedische Axiom:

    |x|   <   |N|

für geeignetes N. Die Geometrie von Hierarchien ist Nichtarchimedisch. Hier gilt die verschärfte Dreiecksungleichung

    d(x,y)  ≤  max {d(x,z),d(z,y)}.

Eine derartige Metrik d heißt auch Ultrametrik. Ein Beispiel für eine Nichtarchimedische Geometrie ist durch die p-adische Entwicklung von Zahlen

    x  =  ∑_ν a_ν p^ν

gegeben. Hierbei ist p eine Primzahl, ν = 0,1,2, ... und a_ν eine "Ziffer" aus {0, ... , p-1}. Der p-adische Betrag ist

    |x|_p  =   p ^{− ν (x)},

wobei ν(x) der erste Index mit "Ziffer" a_ν ≠ 0 in der p-adischen Entwicklung ist. Die p-adischen Zahlen sind durch p-adische Entwicklungen mit unendlich vielen dieser "Ziffern" gegeben und besitzen vermöge des Betrags |  |_p eine hierarchische Anordnung in einem unendlichen regulären Baum T_p, dem Bruhat-Tits-Baum. Weitere Informationen zu p-adischen Zahlen finden sich auf den lesenswerten Wikipedia-Seiten. Hier ergänzen sich die Seiten auf Deutsch und auf Englisch.